archinude entrance  

ID : user name

Password
lost password
JOIN MEMBERS

 비유클리트 기하학의 발견

유클리트 기하학의 공준

1. 임의의 두 점을 연결하는 한 직선을 그릴 수 있다.
2. 유한 직선은 양 방향으로 연속적으로 한 직선으로 연장할 수 있다.
3. 임의의 주어진 점을 중심으로 하고 임의로 주어진 두번째 점을 통과하는 원을 작도할 수 있 다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 무한히 연장하면 내각들의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.


비유클리트 기하학의 발견

19c 초반의 혁명적인 수학의 발달로 간주된다.
유클리트의 '원론'에 있는 다섯 째 공준, 즉 평행선 공준의 비판에서 유래되었으며 다음과 같다.

평행선 공준 : 한 직선이 두 직선과 만날 때 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작으면, 두 직선을 무한히 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.

        ⇔ 주어진 직선 위에 있지 않은 임의의 주어진 점을 통과하면서 그 주어진 선과 평행인
             유일한 직선을 작도할 수 있다.

        ⇔ 세 각의 합이 두 직각과 같은 △이 적어도 하나 존재한다.

이는 초기부터 많은 도전을 받았고, 공준이라기 보다는 정리로 느껴진다.
수세기를 통하여 유클리드의 다섯번 째 공준을 유클리드의 다른 가정들로 부터 유도하려고 이루어진 시도는 무수하며 이 모든 시도들은 실패하였다.

또 각 시도는 증명하려고 하는 것과 동치인 어떤 것을 가정하는 순환의 잘못을 포함기도 했다.

사케리 : 귀류법( 공준을 부정하는 방법을 사용 )을 이용하여 평행선 공준을 증명하려고 하였다.

           C D
           +------------------+
           | | AC = BD
           -+- -+- ∠A = ∠B = 90°
           ++ ++ ⇒ ∠C = ∠D 을 얻는다.
           ++----------------++
           A B

그러나 공준을 부정함으로써 둔각의 전제, 예각의 전제 등을 얻는다.
           ⇔ 위의 전제들로부터, 삼각형의 세 각의 합은 각 각 두 직각보다 크거나 작다.

또한 둔각의 전제에 따른 두 직각에 대한 초과량
또는 예각의 전제에 따른 두 직각에 대한 부족량이
그 삼각형의 넓이에 비례함을 보였다.

구면 기하학에서는 △의 넓이는 구면각 초과량과 비례하였다.
사케리는 직선의 길이는 무한하다는 사실을 가정함으로써 둔각의 전제를 제거하였다. 그러나 예각의 전제에 대한 것은 미해결의 상태였다.

그후 오랜 노력에도 불구하고 수학자들은 예각의 전제하에서 아무런 모순을 발견할 수 없었다. 이는 놀라운 일이 아닌데, 왜냐하면 어떤 적당한 기본 가정들과 예각의 전제를 합친 모임으로부터 전개된 기하학은, 그와 같은 기본 가정과 직각의 전제를 합친 모임으로부터 전개된 유클리트 기하학과 마찬가지로 무모순임이 알려지게 된다.

즉, 평행선 공준은 유클리트 기하학에서 다른 가정들로부터 유도될 수 없고, 독립적이라는 사실이 밝혀졌다. 이를 위해서는 비범한 상상력이 요구되었는데 왜냐하면 이천년 동안 사람들의 마음은 유클리트 기하학은 존재할 수 있는 유일한 기하학이며 모순이 없다는 믿음과 편견으로 굳어져 있었다.

평행선 공준의 독립성을 어렴풋이 알아챈 최초의 사람이 가우스, 볼리아이, 로바체프스키 등이다. 이들은 각 각 세가지 가능성을 고려함으로써 주제에 접근했다. 즉, 주어진 직선 위에 있지 않은 주어진 점을 통과하면서 주어진 직선과 평행인 선은 '꼭 하나 존재하거나' , ' 하나도 없거나 ' 또는 ' 둘 이상 존재한다. ' 는 것이다.

이 상황은 각 각 직각의 전제, 둔각의 전제, 예각의 전제와 동치이다.
그들은 선구자들과 마찬가지로 직선 크기의 무한성을 가정함으로써 둘째 경우를 제거했다.
그러나 셋째 경우에서 무순을 찾을 수 없었던 그들은 각 각 그 가정하에서 무모순인 기하학을 생각해내기에 이르렀다.

          ⇒ 비유크리트 기하학의 무모순성의 결과들은 평행선 공준 문제의 해결 이상의 훨씬 더
               광범위한 영역들에게 영향을 끼쳤다. 즉, 기하학을 전통적인 틀에서 해방시킨 것이다.

수학자에게 있어서 기하학의 공준들은 , 그것들의 물리적인 참이나 거짓과 관계없는 단순한 전제들이 되었다. 따라서 수학자는 공준들이 서로 무모순인 한에 있어서 자신의 마음에 드는 공준을 선택할 수 있게 되었다. 하나의 공준은 그 단어가 수학자들에 의해서 사용되었을 때는, '자명함' 이라든지 '진리'라는 것과는 아무런 관련이 없다.

이와같이 순수하게 ' 인공적인 ' 기하학의 창조가 가능해짐에 따라서, 물리적인 공간은 우리의 외적 경험으로부터 얻어진 경험적인 개념으로 보아야 하고, 물리적 공간을 묘사하기 위해서 고안된 어떤 기하학의 공준들은 그와 같은 경험의 단순한 표현에 불과하게 되었다.

보기를 들면, 유클리트의 평행선 공준은 그것으로 구체적인 공간을 해석하려고 하는 한에 있어서, 갈릴레오의 낙하체의 법칙과 같은 형태의 정당성을 갖는 법칙으로 해석된다. 그것은 경험적인 오차의 한계에서 검증될 수 있는 관찰에 의한 법칙이다.

구체적인 공간에 응용될 때, 기하학은 하나의 경험적인 과학이라는 견해는 당시의 칸트의 이론과는 현저하게 대조된다. 칸트는 공간은 인간의 마음에 직관적으로 이미 존재하는 체계이고, 유클리트 기하의 공리와 공준은 인간 마음에 부과된 선험적인 판단이며 이들 없이는 공간에 대한 어떠한 무모순인 추론도 불가능하다고 주장였다.

그러나 로바체프스에 의해 이 견해가 더 이상 지지될 수 없게 되었다.
로바체프스키 기하학의 무모순성은 기하학을 해방시켰을 뿐만 아니라 수학 전반에 걸쳐서 그와 유사한 영향을 끼쳤다. 수학은 인간 정신의 임의의 창조로 출현하게 되었으며, 수학은 우리가 살고있는 세계에 의해서 필연적으로 우리에게 지시된 어떤 근본적인 것이 아닌 것으로 나타나게 되었다.

비유클리트 기하학의 발견은 전통적인 믿음을 중단시키고 수세기 동안 지배했던 사고의 습관을 깨뜨림으로써, 수학은 ' 절대적인 진리 ' 라는 견해에 타격을 주었다.

칸토어(Cantor) 는 " 수학의 본질은 그것의 자유에 있다. " 고 말했다.

둔각의 전제 ― 직선의 길이가 무한하다는 것에 의해 파기 되었으나 리만(1854)에 의해서 유클리트 공준 2 는 직선은 한없이 연장할 수 있다고 주장하지만, 그것이 직선의 크기가 무한하다는 것을 함의할 필요는 없으며, 단지 끝이 없다든가 또는 경계가 없다는 것을 의미할 수 있다.

따라서 어떤 구의 두 점을 연결하는 대원의 호는 그 대원을 따라서 끝없이 늘일 수 있으므로 한없이 연장된다. 그렇지만 그것이 무한의 크기를 의미하지는 않는다. → 리만 기하학의 주장

아인슈타인은 그의 상대성 이론의 연구에서 물리적 공간을 묘사하기 위해서 비유클리트 기하학을 적용해야 함을 발견했는데 그 기하학은 리만 기하학 중 하나로 간주되었다.

글. ANUPARK

25th Archinude Architectural Tour