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 매력적인 수,  π의 역사

π의 역사

기원전 2000년경 인간은 오늘날 π라고 표시하는 상수의 중요성을 인식하고 그 개략적인 근사값을 알아냈다. 즉, 이 수는 4000년을 넘는 역사를 갖고 있는 것이다. 텍스트를 간략화한 것은 가급적 중요요점만 강력하게 전달하기 위함이다. 모든 글은 역사순서이다.

1. 원의 인식
2. 크기 개념을 파악
3. 원의 지름이 클수록 그 원둘레도 길어진다.
     비례개념, < ----할수록 더      ⇒ 모든 원에 대하여 둘레 길이 : 지름 = 상수

기원전 2000년경 바빌로니아 인들은 π = 3 으로 계산하였고
이집트인들은 π = 4× ( ) 2 이라고 계산

정확한 계산 - 존재하는 모든 사물과 숨겨진 모든 비밀에 대한 지식의 입구.
추측 π = 3

고대 이집트와 그 밖의 곳에서 승려들은 흔히 수학과 밀접하게 관련되어 있다.
( 달력의 보관자로 ^^…… )

원의 면적을 알아낸 것은 경험적 측정에 의해서라기 보다는 지혜에 의해서였다.
수의 탄생이 경험치에서 시작되었다는 것을 생각하면, 파이의 발견은 경험이 아닌, 상상에서 출발했다고 평가할 수 있지 않을까.

반지름 r 인 원의 면적 A = πr2

1. 재배열법
2. 바빌로니아의 점토판
     정육각형의 둘레와 그 외접원의 둘레와의 길이의 비가 + ( 60 진법을 이용 )

그들은 정육각형의 둘레가 외접원의 반지름의 6배임을 알고 있었다. 이것은 평면작도시 발견할 수 있다.

r 을 반지름의 길이라고 하고, C 를 외접원의 둘레라 할 때, 그 비는
= = + 으로부터 π = 3 = 3.125 를 얻는다.

고대 인도에서는 (아리아 바타가 499년에 기술한 「아리아 비티아」) 많은 문제들에 힌트 없이 해답만 주어것으도 유명한데, 100 에 4 를 더하여 8로 곱하고 다시 62,000 을 더하면 그 결과는 지름이 20, 000 인 원의 둘레의 근사값을 발견했다.
→ π = = 3.1416

<추측>
한 원에 내접하는 n 개의 변을 가진 정 다각형의 변의 길이를 S(n)이라 하면, 2n 개의 변을 가진 정다각형의 변의 길이는 S( 2n) = 이다.

정 육각형에서 시작하여, 점차 변의 개수를 두배로 늘리면 변의 수가 12 , 24 , 48 , 96 , 192 , 384 인 정다각형이 된다. 원의 지름을 100 이라 놓고, 정 384 각형의 둘레는 이므로
π = 3.14156 !!!

인도의 수학자 브라만타 굽타는 π = 3.162277
중국 「후한서」에서도 찾을 수 있는데, 고대 중국인들은 π= 3.1622 로 보고 사용했다.
5c 경에 중국의 조충자와 조항지는 3.1415926 < π < 3.1415927 로 보았다.
이는 16c 유럽이 발견했던 가장 근사치의 파이의 값보다 정확한 값이다.

π 값을 계산해 내는 소숫점 이하 자릿수는 아르키메데스 이후 순전히 계산 능력과 인내력의 문제였다.
능력과 인내력. 이 두가지를 필자는 무한히 사랑한다.

π 값 찾기는수 년 전에는 컴퓨터 프로그램의 기술문제였고, 오늘날에는 비용문제에 지나지 않는다.

중국인들도 숫자 0에 상응하는 것을 발견하였다. 그리고 10의 자리에 해당수가 없을 때에는 빈칸을 남겼다. 후에 인도인들이 동그라미로 (0) 숫자 0을 나타냈다.  0이 원모양이란 것은 지금 생각해도 심장을 파열시킨다.

이것이 중세 말기와 르네상스초에 아랍인을 통해 유럽에 전해졌다. 1259년에 내려진 포고령은 플로렌스의 은행업자들이 이교도의 기호사용을 금지했고, 1348년 파두아 대학은 가격 목록을 아라비아 숫자로 쓰지말고, 로마 숫자로 써야 한다고 명했다. 그러나 숫자 0이 들어올 때까지 유럽에서 곱셈과 나눗셈을 완벽히 할 수 있는 사람이 거의 없었으므로, 아르키메데스의 방법으로 π를 계산하는데 필요한 제곱근을 구할 수 없었다. 구구단이 중국에서 발명되었다는 것을 생각하면 참 재미있다.

인류사회를 수렵에서 농업혁명으로 주도하여 잉여생산의 사회로 전환시켜 구성원의 일부가 농사아닌 다른 일을 자유로이 할 수 있도록 주도하는 지역이 문화의 중간지대라고 말한다.

고대 그리이스를 잠깐 보자.

원적 문제 ( square the circle ) - 아낙사고라스
π 와 밀접하게 관련된 문제로써 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이다.
1882 년에 유럽의 수학자들은 드디어, 유클리트 기하학으로는 π값을 해결할 수 없다고 공표하게 된다.
"학출법의 원리 - 안티폰" 에 나오는 내용이다.

17c 말 미적분학이 발명될 때까지 π값을 추적하는 수학자들에게 영향을 주었던 내용을 보자.

정다각형을 원에 내접시키고 각 단계마다 변의 수를 배로 늘려, 원이 다할 때까지 정다각형을 원에 내접시키면 결국 다각형은 변의 길이가 매우 짧아져 원과 일치하게 된다. 이것이 안티폰으로 하여금 그리이스기하학에서 원의 정사각형화가 가능하다고 믿게 하였다. 왜냐하면 모든 다각형은 정사각형화가 가능하고, < 궁극적 > 인 다각형은 원과 같기 때문에 원의 정사각형화도 가능하다고 판단했던 것이다.

다음은 알렉산드리아의 수학에 나오는 내용이다.

알렉산더 : B.C. 332-331 알렉산드리아 시를 건설. B.C. 321 사망.
프톨레마이오스 가 B.C. 306 년 이집트 평정.
업적 : 박물관과 도서관의 건립.

귀중한 문서의 수집, 여행자의 서적을 몰수(기증)케하고 도서관에서 복사. 복사본을 돌려주고 보증금은 모두 몰수. 당시 도서관에 75 만금.
도서관장 에라토스테네스는 두 지점에서 태양이 기울어진 차이를 계산하여 지구 둘레를 오차율 5% 이내로 계산.

유클리트 기하학 : 기하학의 아버지라기 보다 수학적 엄밀성의 아버지로 평소 말한다.
그는 논리적 사고를 길러주는 고도의 훈련했다고 한다.

유클리트의 공리를 보자.

1. 한 점에서 다른 점까지 직선을 그을 수 있다.
2. 유한 선분에 계속해서 연장선을 그어 직선이 되게 할 수 있다.
3. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 같다.
5. 평행선의 공리

유클리트 기하학에 대한 고대 그리이스인들의 태도는 다음과 같다.:

" 위의 다섯 공리는 참이다. 그러므로 이들로 부터 뒤따라 나오는 모든 것도 또한 성립한다. "

현대 수학의 자세 : 이 다섯 공리가 성립한다고 가정하면 이들로부터 뒤따라 나오는 모든 것도 또한 성립한다. 공리에 대해서 요구하는 바는 그 공리가 모순된 결과를 유도하지 않는 것이다. 독자들이 이 모든 것이 실제와 관련없는 순수히 수학적 추상이라고 느낄 수도 있다. 그러나 그렇지 않다. 실재란 우리의 경험에 의해서 성립된 것이다.

직선에 가장 짧은 경로 선분 ( AC + CB ) > 선분 m ( AB )
유클리트 기하학으로 설명하기 불편한 경우가 나왔는데, 그것은 광선의 가장 짧은 경로를 구할 때였다.
우리가 인식하는 직선은 전체 직선의 짧은 일부분이다. 직선의 무한대는 곡선이란 것을 생각하자.

즉, 광선이 중력장을 통과할 때 휜다. 그러나 이후, 이것은 상대성 이론으로 설명가능하게 되었다..

다시, 고대수학자 아르키메데스의 이론을 보자.

아르키메데스 : 일반적인 원리를 찾아서 그것을 특정하는 공학문제에 적용시킨 최초의 과학적 공학자.
                           전쟁기구에 지렛대 원리 적용.
                           구면체 조각의 부피 계산
                           회전체 ( 타물체 , 쌍곡체 ) 의 부피
                           반원, 반구의 무게 중심
                           원하는 만큼 정확히 π를 계산하는 방법을 처음으로 제시

원에 내접하는 변이 n개인 정다각형의 둘레의 길이는 원둘레보다 작고, 원둘레는 원에 내접하는 닮은 정다각형의 둘레 길이의 총합보다 작다. 재미있다.

6각형 → 2 배씩 → 96 각형
3 < π < 3
3.14084 < π < 3.142858

원의 중심에서 정다각형의 한 변에 대응하는 각의 절반이 = 이면, 내접하는 변의 길이는
                              i=2r sin 이고

외접하는 변의 길이는 c = 2r tan(탄젠트값)
그러므로 원둘레 c 는 ni < c < nc 를 2r 로 나누면
                              n sin < π < n tan

처음 변의 수 n 을 두배 씩 k 번 하여
n sin( ) < π < n tan( ) 이고 k 를 크게 k=4 이면 변의 개수는 96 여기까지.

그 이후 알렉산드리아 대학은 로마에 점령당한 후 도서관이 불타 버렸다.
이집트의 여왕 클레오파트라는 도서관을 제공하여 지식을 시민이 소유하게 되었으나  도서관에 들어갈 서적들을 옮기던 중, 배에 실었던 서적은 모두 불에 타게 되었다.
후에 안토니우스가 200,000 금의 서적을 되돌려 준 이후, 과학은 신비주의와 미신의 독단에 빠지게 되었다고 기록되어 있다.

17c 에 미적분학이 발견되고 그것으로 π에 대한 무한 급수와 연분수가 많이 발견되었다.
1717 년에 소수 27자리까지 π 수에 가까운 값이 계산되었다.
일본에서는 1722 년 1024 인 다각형을 이용하여 소수 41자리까지 구했다.
독일에서는 1844년 소수 200 자리까지 π 값을 찾아내었다.

글. ANUPARK

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